$2a^3–3a^2+3a–1$ এর একটি উৎপাদক হলো— 

কোনো বহুপদী ব্যঞ্জনরাশি \(P(a)\) এর একটি উৎপাদক \((xa-b)\) হবে যদি \(P(\frac{b}{x}) = 0\) হয়। এই নীতিটি উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) নামে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে, আমাদের প্রদত্ত বহুপদী ব্যঞ্জনরাশিটি হলো:

ধরি, \(P(a) = 2a^3 - 3a^2 + 3a - 1\)

এখন আমরা প্রদত্ত অপশনগুলো থেকে উৎপাদক উপপাদ্য ব্যবহার করে সঠিক উৎপাদকটি নির্ণয় করব।

অপশন ১: \(2a+1\)

যদি \(2a+1\) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \(2a+1 = 0 \implies 2a = -1 \implies a = -1/2\)

এখন, \(P(-1/2)\) এর মান নির্ণয় করি:

\(P(-1/2) = 2(-1/2)^3 - 3(-1/2)^2 + 3(-1/2) - 1\)

\(= 2(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) - \frac{3}{2} - 1\)

\(= -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} - \frac{3}{2} - 1\)

\(= -\frac{4}{4} - \frac{3}{2} - 1\)

\(= -1 - \frac{3}{2} - 1\)

\(= -2 - \frac{3}{2}\)

\(= -\frac{4+3}{2} = -\frac{7}{2}\)

যেহেতু \(P(-1/2) \neq 0\), তাই \(2a+1\) একটি উৎপাদক নয়।

অপশন ২: \(2a+3\)

যদি \(2a+3\) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \(2a+3 = 0 \implies 2a = -3 \implies a = -3/2\)

এখন, \(P(-3/2)\) এর মান নির্ণয় করি:

\(P(-3/2) = 2(-3/2)^3 - 3(-3/2)^2 + 3(-3/2) - 1\)

\(= 2(-\frac{27}{8}) - 3(\frac{9}{4}) - \frac{9}{2} - 1\)

\(= -\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - \frac{9}{2} - 1\)

\(= -\frac{54}{4} - \frac{9}{2} - 1\)

\(= -\frac{27}{2} - \frac{9}{2} - 1\)

\(= -\frac{36}{2} - 1\)

\(= -18 - 1 = -19\)

যেহেতু \(P(-3/2) \neq 0\), তাই \(2a+3\) একটি উৎপাদক নয়।

অপশন ৩: \(2a-3\)

যদি \(2a-3\) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \(2a-3 = 0 \implies 2a = 3 \implies a = 3/2\)

এখন, \(P(3/2)\) এর মান নির্ণয় করি:

\(P(3/2) = 2(3/2)^3 - 3(3/2)^2 + 3(3/2) - 1\)

\(= 2(\frac{27}{8}) - 3(\frac{9}{4}) + \frac{9}{2} - 1\)

\(= \frac{27}{4} - \frac{27}{4} + \frac{9}{2} - 1\)

\(= 0 + \frac{9}{2} - 1\)

\(= \frac{9-2}{2} = \frac{7}{2}\)

যেহেতু \(P(3/2) \neq 0\), তাই \(2a-3\) একটি উৎপাদক নয়।

অপশন ৪: \(2a-1\)

যদি \(2a-1\) একটি উৎপাদক হয়, তাহলে \(2a-1 = 0 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2\)

এখন, \(P(1/2)\) এর মান নির্ণয় করি:

\(P(1/2) = 2(1/2)^3 - 3(1/2)^2 + 3(1/2) - 1\)

\(= 2(\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + \frac{3}{2} - 1\)

\(= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} - 1\)

\(= -\frac{2}{4} + \frac{3}{2} - 1\)

\(= -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1\)

\(= \frac{3-1}{2} - 1\)

\(= \frac{2}{2} - 1\)

\(= 1 - 1 = 0\)

যেহেতু \(P(1/2) = 0\), তাই \(2a-1\) প্রদত্ত বহুপদী ব্যঞ্জনরাশিটির একটি উৎপাদক।